Løs -3t^2-9t+30=0

$$-3 { t }^{ 2 } -9t+30=0$$

Løs for t

$$t=-5$$

$$t=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$-t^{2}-3t+10=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -t^{2}+at+bt+10. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=-10=-10$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -10.

$$1,-10 2,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=2 b=-5$$

Skriv om -t^{2}-3t+10 som \left(-t^{2}+2t\right)+\left(-5t+10\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(-5t+10\right)$$

Faktor ut t i den første og 5 i den andre gruppen.

$$t\left(-t+2\right)+5\left(-t+2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -t+2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-t+2\right)\left(t+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -t+2=0 og t+5=0.

$$t=2 t=-5$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3t^{2}-9t+30=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, -9 for b og 30 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 30}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer -9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 30}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 30}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 30.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 81 og 360.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\left(-3\right)}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$t=\frac{9±21}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$t=\frac{9±21}{-6}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{9±21}{-6} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 21.

$$t=\frac{30}{-6}$$

Del 30 på -6.

$$t=-5$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{9±21}{-6} når ± er minus. Trekk fra 21 fra 9.

$$t=-\frac{12}{-6}$$

Del -12 på -6.

$$t=2$$

Ligningen er nå løst.

$$t=-5 t=2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3t^{2}-9t+30=0$$

Trekk fra 30 fra begge sider av ligningen.

$$-3t^{2}-9t+30-30=-30$$

Når du trekker fra 30 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3t^{2}-9t=-30$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3t^{2}-9t}{-3}=-\frac{30}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$t^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)t=-\frac{30}{-3}$$

Del -9 på -3.

$$t^{2}+3t=-\frac{30}{-3}$$

Del -30 på -3.

$$t^{2}+3t=10$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}+3t+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}+3t+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 10 og \frac{9}{4}.

$$t^{2}+3t+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktoriser t^{2}+3t+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkle.

$$t+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} t+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$t=2 t=-5$$