Løs -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -144 for a, 9 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Multipliser -4 ganger -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Multipliser 576 ganger -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Legg sammen 81 og -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Ta kvadratroten av -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Multipliser 2 ganger -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Del -9+27i\sqrt{7} på -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} når ± er minus. Trekk fra 27i\sqrt{7} fra -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Del -9-27i\sqrt{7} på -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Del begge sidene på -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Hvis du deler på -144, gjør du om gangingen med -144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Forkort brøken \frac{9}{-144} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Forkort brøken \frac{9}{-144} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Del -\frac{1}{16}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{32}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{32} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{32} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Legg sammen -\frac{1}{16} og \frac{1}{1024} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Legg til \frac{1}{32} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$