Løs -10x^2+1000x-21000

$$-10 { x }^{ 2 } +1000x-21000$$

Faktoriser

$$10\left(30-x\right)\left(x-70\right)$$

Løsningstrinn

Faktoriser ut 10.

$$10\left(-x^{2}+100x-2100\right)$$

Vurder -x^{2}+100x-2100. Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som -x^{2}+ax+bx-2100. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=100 ab=-\left(-2100\right)=2100$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 2100.

$$1,2100 2,1050 3,700 4,525 5,420 6,350 7,300 10,210 12,175 14,150 15,140 20,105 21,100 25,84 28,75 30,70 35,60 42,50$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+2100=2101 2+1050=1052 3+700=703 4+525=529 5+420=425 6+350=356 7+300=307 10+210=220 12+175=187 14+150=164 15+140=155 20+105=125 21+100=121 25+84=109 28+75=103 30+70=100 35+60=95 42+50=92$$

Løsningen er paret som gir Summer 100.

$$a=70 b=30$$

Skriv om -x^{2}+100x-2100 som \left(-x^{2}+70x\right)+\left(30x-2100\right).

$$\left(-x^{2}+70x\right)+\left(30x-2100\right)$$

Faktor ut -x i den første og 30 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-70\right)+30\left(x-70\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-70 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-70\right)\left(-x+30\right)$$

Skriv om det fullførte faktoriserte uttrykket.

$$10\left(x-70\right)\left(-x+30\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+1000x-21000=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000^{2}-4\left(-10\right)\left(-21000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kvadrer 1000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000-4\left(-10\right)\left(-21000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multipliser -4 ganger -10.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000+40\left(-21000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multipliser 40 ganger -21000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000-840000}}{2\left(-10\right)}$$

Legg sammen 1000000 og -840000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{160000}}{2\left(-10\right)}$$

Ta kvadratroten av 160000.

$$x=\frac{-1000±400}{2\left(-10\right)}$$

Multipliser 2 ganger -10.

$$x=\frac{-1000±400}{-20}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1000±400}{-20} når ± er pluss. Legg sammen -1000 og 400.

$$x=-\frac{600}{-20}$$

Del -600 på -20.

$$x=30$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1000±400}{-20} når ± er minus. Trekk fra 400 fra -1000.

$$x=-\frac{1400}{-20}$$

Del -1400 på -20.

$$x=70$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt 30 med x_{1} og 70 med x_{2}.

$$-10x^{2}+1000x-21000=-10\left(x-30\right)\left(x-70\right)$$

Evaluer

$$10\left(30-x\right)\left(x-70\right)$$