Løs -y^2+6y+7=0

$$- y ^ { 2 } + 6 y + 7 = 0$$

Løs for y

$$y=-1$$

$$y=7$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -y^{2}+ay+by+7. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=7 b=-1$$

Skriv om -y^{2}+6y+7 som \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right)$$

Faktor ut -y i den første og -1 i den andre gruppen.

$$-y\left(y-7\right)-\left(y-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet y-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y-7\right)\left(-y-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-7=0 og -y-1=0.

$$y=7 y=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 6 for b og 7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 6.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 7.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 36 og 28.

$$y=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 64.

$$y=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$y=\frac{-6±8}{-2}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-6±8}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -6 og 8.

$$y=\frac{2}{-2}$$

Del 2 på -2.

$$y=-1$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-6±8}{-2} når ± er minus. Trekk fra 8 fra -6.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Del -14 på -2.

$$y=7$$

Ligningen er nå løst.

$$y=-1 y=7$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

Trekk fra 7 fra begge sider av ligningen.

$$-y^{2}+6y+7-7=-7$$

Når du trekker fra 7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-y^{2}+6y=-7$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-y^{2}+6y}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$y^{2}+\frac{6}{-1}y=-\frac{7}{-1}$$

Del 6 på -1.

$$y^{2}-6y=-\frac{7}{-1}$$

Del -7 på -1.

$$y^{2}-6y=7$$

Del -6, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -3. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -3 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrer -3.

$$y^{2}-6y+9=7+9$$

Legg sammen 7 og 9.

$$y^{2}-6y+9=16$$

Faktoriser y^{2}-6y+9. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-3\right)^{2}=16$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Forenkle.

$$y-3=4 y-3=-4$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$y=7 y=-1$$