Løs -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, -1 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 1 og -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} når ± er pluss. Legg sammen 1 og i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Del 1+i\sqrt{3} på -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{3} fra 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Del 1-i\sqrt{3} på -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Del -1 på -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Del 1 på -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Divider 1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Legg sammen -1 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$