Løs -x^2+90x-75=20

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

Løs for x

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88,931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1,068234727$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Trekk fra 20 fra begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

Når du trekker fra 20 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

Trekk fra 20 fra -75.

$$-x^{2}+90x-95=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 90 for b og -95 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -95.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 8100 og -380.

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 7720.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -90 og 2\sqrt{1930}.

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Del -90+2\sqrt{1930} på -2.

$$x=45-\sqrt{1930}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{1930} fra -90.

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Del -90-2\sqrt{1930} på -2.

$$x=\sqrt{1930}+45$$

Ligningen er nå løst.

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Legg til 75 på begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

Når du trekker fra -75 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

Trekk fra -75 fra 20.

$$-x^{2}+90x=95$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

Del 90 på -1.

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

Del 95 på -1.

$$x^{2}-90x=-95$$

Del -90, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -45. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -45 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

Kvadrer -45.

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

Legg sammen -95 og 2025.

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

Faktoriser x^{2}-90x+2025. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

Forenkle.

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

Legg til 45 på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$