Løs -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Løs for x

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 8 for b og 47 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 64 og 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 252.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -8 og 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Del -8+6\sqrt{7} på -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} når ± er minus. Trekk fra 6\sqrt{7} fra -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Del -8-6\sqrt{7} på -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Trekk fra 47 fra begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Når du trekker fra 47 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Del 8 på -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Del -47 på -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Del -8, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -4. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -4 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrer -4.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Legg sammen 47 og 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Faktoriser x^{2}-8x+16. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Forenkle.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$