Løs -x^2+7x-10=0

$$- x ^ { 2 } + 7 x - 10 = 0$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x=5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som -x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 10.

$$1,10 2,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+10=11 2+5=7$$

Løsningen er paret som gir Summer 7.

$$a=5 b=2$$

Skriv om -x^{2}+7x-10 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Faktor ut -x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-5=0 og -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 7 for b og -10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 49 og -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±3}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -7 og 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Del -4 på -2.

$$x=2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±3}{-2} når ± er minus. Trekk fra 3 fra -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Del -10 på -2.

$$x=5$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2 x=5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Legg til 10 på begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Når du trekker fra -10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Trekk fra -10 fra 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Del 7 på -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Del 10 på -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Divider -7, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{7}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{7}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Legg sammen -10 og \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktoriser x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Legg til \frac{7}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=5 x=2$$