Løs -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx+15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -15.

$$-1,15 -3,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 2.

$$a=5 b=-3$$

Skriv om -x^{2}+2x+15 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Faktor ut -x i den første og -3 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-5=0 og -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 2 for b og 15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 4 og 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±8}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Del 6 på -2.

$$x=-3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±8}{-2} når ± er minus. Trekk fra 8 fra -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Del -10 på -2.

$$x=5$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-3 x=5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Når du trekker fra 15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Del 2 på -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Del -15 på -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Legg sammen 15 og 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Forenkle.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=5 x=-3$$