Løs -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -9 for a, 18 for b og 68 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrer 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser -4 ganger -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser 36 ganger 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Legg sammen 324 og 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Ta kvadratroten av 2772.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser 2 ganger -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} når ± er pluss. Legg sammen -18 og 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Del -18+6\sqrt{77} på -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} når ± er minus. Trekk fra 6\sqrt{77} fra -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Del -18-6\sqrt{77} på -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Trekk fra 68 fra begge sider av ligningen.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Når du trekker fra 68 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Del begge sidene på -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

Hvis du deler på -9, gjør du om gangingen med -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Del 18 på -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Del -68 på -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Legg sammen \frac{68}{9} og 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Forenkle.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$