Løs -5k^2+9k-3=0

$$- 5 k ^ { 2 } + 9 k - 3 = 0$$

Løs for k

$$k = \frac{\sqrt{21} + 9}{10} \approx 1,358257569$$

$$k=\frac{9-\sqrt{21}}{10}\approx 0,441742431$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-5k^{2}+9k-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -5 for a, 9 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrer 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser -4 ganger -5.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser 20 ganger -3.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-60}}{2\left(-5\right)}$$

Legg sammen 81 og -60.

$$k=\frac{-9±\sqrt{21}}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser 2 ganger -5.

$$k=\frac{-9±\sqrt{21}}{-10}$$

Nå kan du løse formelen k=\frac{-9±\sqrt{21}}{-10} når ± er pluss. Legg sammen -9 og \sqrt{21}.

$$k=\frac{\sqrt{21}-9}{-10}$$

Del -9+\sqrt{21} på -10.

$$k=\frac{9-\sqrt{21}}{10}$$

Nå kan du løse formelen k=\frac{-9±\sqrt{21}}{-10} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{21} fra -9.

$$k=\frac{-\sqrt{21}-9}{-10}$$

Del -9-\sqrt{21} på -10.

$$k=\frac{\sqrt{21}+9}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$k=\frac{9-\sqrt{21}}{10} k=\frac{\sqrt{21}+9}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-5k^{2}+9k-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$-5k^{2}+9k-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-5k^{2}+9k=-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 0.

$$-5k^{2}+9k=3$$

Del begge sidene på -5.

$$\frac{-5k^{2}+9k}{-5}=\frac{3}{-5}$$

Hvis du deler på -5, gjør du om gangingen med -5.

$$k^{2}+\frac{9}{-5}k=\frac{3}{-5}$$

Del 9 på -5.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k=\frac{3}{-5}$$

Del 3 på -5.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k=-\frac{3}{5}$$

Del -\frac{9}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k+\frac{81}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Legg sammen -\frac{3}{5} og \frac{81}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k+\frac{81}{100}=\frac{21}{100}$$

Faktoriser k^{2}-\frac{9}{5}k+\frac{81}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{21}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(k-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{100}}$$

Forenkle.

$$k-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{21}}{10} k-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{21}}{10}$$

Legg til \frac{9}{10} på begge sider av ligningen.

$$k=\frac{\sqrt{21}+9}{10} k=\frac{9-\sqrt{21}}{10}$$