Løs -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Løs for b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -4 for a, 22 for b og -4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrer 22.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser -4 ganger -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 16 ganger -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Legg sammen 484 og -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Ta kvadratroten av 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 2 ganger -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Nå kan du løse formelen b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} når ± er pluss. Legg sammen -22 og 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Del -22+2\sqrt{105} på -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Nå kan du løse formelen b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{105} fra -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Del -22-2\sqrt{105} på -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Når du trekker fra -4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Trekk fra -4 fra 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Del begge sidene på -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Hvis du deler på -4, gjør du om gangingen med -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Forkort brøken \frac{22}{-4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Del 4 på -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Divider -\frac{11}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{11}{4}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{11}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Legg sammen -1 og \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Faktoriser b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Forenkle.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Legg til \frac{11}{4} på begge sider av ligningen.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$