Løs -3x^2-x+1>0

$$- 3 x ^ { 2 } - x + 1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{13}-1}{6},\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i -3x^{2}-x+1 positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$3x^{2}+x-1<0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 3 med a, 1 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{-1±\sqrt{13}}{6} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$3\left(x-\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{\sqrt{13}-1}{6} og x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6} må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{\sqrt{13}-1}{6} er positiv og x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6} er negativ.

$$x-\frac{\sqrt{13}-1}{6}>0 x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6}<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6} er positiv og x-\frac{\sqrt{13}-1}{6} er negativ.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6}>0 x-\frac{\sqrt{13}-1}{6}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(\frac{-\sqrt{13}-1}{6},\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{13}-1}{6},\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{13}-1}{6},\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right)$$