Løs -3x^2-9x+84=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 9 x + 84 = 0$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$-x^{2}-3x+28=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx+28. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=-28=-28$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=4 b=-7$$

Skriv om -x^{2}-3x+28 som \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right)$$

Faktor ut x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$x\left(-x+4\right)+7\left(-x+4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+4\right)\left(x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+4=0 og x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, -9 for b og 84 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 81 og 1008.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 1089.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\left(-3\right)}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$x=\frac{9±33}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{9±33}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±33}{-6} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 33.

$$x=\frac{42}{-6}$$

Del 42 på -6.

$$x=-7$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±33}{-6} når ± er minus. Trekk fra 33 fra 9.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Del -24 på -6.

$$x=4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-7 x=4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Trekk fra 84 fra begge sider av ligningen.

$$-3x^{2}-9x+84-84=-84$$

Når du trekker fra 84 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3x^{2}-9x=-84$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}-9x}{-3}=-\frac{84}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)x=-\frac{84}{-3}$$

Del -9 på -3.

$$x^{2}+3x=-\frac{84}{-3}$$

Del -84 på -3.

$$x^{2}+3x=28$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 28 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-7$$