Løs -3x^2+63x-183=21

$$- 3 x ^ { 2 } + 63 x - 183 = 21$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=17$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 21 fra begge sider.

$$-3x^{2}+63x-183-21=0$$

Trekk fra 21 fra -183 for å få -204.

$$-3x^{2}+63x-204=0$$

Del begge sidene på 3.

$$-x^{2}+21x-68=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx-68. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=21 ab=-\left(-68\right)=68$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 68.

$$1,68 2,34 4,17$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+68=69 2+34=36 4+17=21$$

Løsningen er paret som gir Summer 21.

$$a=17 b=4$$

Skriv om -x^{2}+21x-68 som \left(-x^{2}+17x\right)+\left(4x-68\right).

$$\left(-x^{2}+17x\right)+\left(4x-68\right)$$

Faktor ut -x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-17\right)+4\left(x-17\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-17 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-17\right)\left(-x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-17=0 og -x+4=0.

$$x=17 x=4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}+63x-183=21$$

Trekk fra 21 fra begge sider av ligningen.

$$-3x^{2}+63x-183-21=21-21$$

Når du trekker fra 21 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3x^{2}+63x-183-21=0$$

Trekk fra 21 fra -183.

$$-3x^{2}+63x-204=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 63 for b og -204 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-3\right)\left(-204\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 63.

$$x=\frac{-63±\sqrt{3969-4\left(-3\right)\left(-204\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-63±\sqrt{3969+12\left(-204\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger -204.

$$x=\frac{-63±\sqrt{3969-2448}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 3969 og -2448.

$$x=\frac{-63±\sqrt{1521}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 1521.

$$x=\frac{-63±39}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-63±39}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-63±39}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -63 og 39.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Del -24 på -6.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-63±39}{-6} når ± er minus. Trekk fra 39 fra -63.

$$x=-\frac{102}{-6}$$

Del -102 på -6.

$$x=17$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=17$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+63x-183=21$$

Legg til 183 på begge sider av ligningen.

$$-3x^{2}+63x-183-\left(-183\right)=21-\left(-183\right)$$

Når du trekker fra -183 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3x^{2}+63x=21-\left(-183\right)$$

Trekk fra -183 fra 21.

$$-3x^{2}+63x=204$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}+63x}{-3}=\frac{204}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\frac{63}{-3}x=\frac{204}{-3}$$

Del 63 på -3.

$$x^{2}-21x=\frac{204}{-3}$$

Del 204 på -3.

$$x^{2}-21x=-68$$

Del -21, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{21}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{21}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-68+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{21}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-68+\frac{441}{4}$$

Legg sammen -68 og \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktoriser x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{13}{2}$$

Legg til \frac{21}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=17 x=4$$