Løs -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=13$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx-52. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Løsningen er paret som gir Summer 17.

$$a=13 b=4$$

Skriv om -x^{2}+17x-52 som \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Faktor ut -x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-13 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-13=0 og -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 51 for b og -156 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 2601 og -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-51±27}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -51 og 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Del -24 på -6.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-51±27}{-6} når ± er minus. Trekk fra 27 fra -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Del -78 på -6.

$$x=13$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=13$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Legg til 156 på begge sider av ligningen.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Når du trekker fra -156 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Trekk fra -156 fra 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Del 51 på -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Del 156 på -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Del -17, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{17}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{17}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{17}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Legg sammen -52 og \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktoriser x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Legg til \frac{17}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=13 x=4$$