Løs -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i -3x^{2}+5x+2 positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 3 med a, -5 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{5±7}{6} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

En av verdiene x-2 og x+\frac{1}{3} må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når x-2\geq 0 og x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-2\leq 0 og x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$