Løs -3x^2+2x+1<0

$$- 3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i -3x^{2}+2x+1 positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$3x^{2}-2x-1>0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 3 med a, -2 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{2±4}{6} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$3\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)>0$$

Hvis produktet skal være positivt, x-1 og x+\frac{1}{3} må være både negative eller positive. Vurder saken når både x-1 og x+\frac{1}{3} er negative.

$$x-1<0 x+\frac{1}{3}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x<-\frac{1}{3}.

$$x<-\frac{1}{3}$$

Vurder saken når x-1 og x+\frac{1}{3} er positive.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-1>0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x>1.

$$x>1$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x<-\frac{1}{3}\text{; }x>1$$