Løs -3r^2+90r=93

$$- 3 r ^ { 2 } + 90 r = 93$$

Løs for r

$$r=\sqrt{194}+15\approx 28,928388277$$

$$r=15-\sqrt{194}\approx 1,071611723$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Trekk fra 93 fra begge sider av ligningen.

$$-3r^{2}+90r-93=93-93$$

Når du trekker fra 93 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3r^{2}+90r-93=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 90 for b og -93 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 90.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100+12\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger -93.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-1116}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 8100 og -1116.

$$r=\frac{-90±\sqrt{6984}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 6984.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -90 og 6\sqrt{194}.

$$r=\frac{6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Del -90+6\sqrt{194} på -6.

$$r=15-\sqrt{194}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6} når ± er minus. Trekk fra 6\sqrt{194} fra -90.

$$r=\frac{-6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Del -90-6\sqrt{194} på -6.

$$r=\sqrt{194}+15$$

Ligningen er nå løst.

$$r=15-\sqrt{194} r=\sqrt{194}+15$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3r^{2}+90r}{-3}=\frac{93}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$r^{2}+\frac{90}{-3}r=\frac{93}{-3}$$

Del 90 på -3.

$$r^{2}-30r=\frac{93}{-3}$$

Del 93 på -3.

$$r^{2}-30r=-31$$

Del -30, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -15. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -15 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$r^{2}-30r+\left(-15\right)^{2}=-31+\left(-15\right)^{2}$$

Kvadrer -15.

$$r^{2}-30r+225=-31+225$$

Legg sammen -31 og 225.

$$r^{2}-30r+225=194$$

Faktoriser r^{2}-30r+225. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-15\right)^{2}=194$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(r-15\right)^{2}}=\sqrt{194}$$

Forenkle.

$$r-15=\sqrt{194} r-15=-\sqrt{194}$$

Legg til 15 på begge sider av ligningen.

$$r=\sqrt{194}+15 r=15-\sqrt{194}$$