Løs -231x^2-42x+67=0

$$- 231 x ^ { 2 } - 42 x + 67 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx 0,455266479$$

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx -0,637084661$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -231 for a, -42 for b og 67 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Kvadrer -42.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Multipliser -4 ganger -231.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+924\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Multipliser 924 ganger 67.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+61908}}{2\left(-231\right)}$$

Legg sammen 1764 og 61908.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{63672}}{2\left(-231\right)}$$

Ta kvadratroten av 63672.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

Det motsatte av -42 er 42.

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

Multipliser 2 ganger -231.

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462} når ± er pluss. Legg sammen 42 og 2\sqrt{15918}.

$$x=\frac{2\sqrt{15918}+42}{-462}$$

Del 42+2\sqrt{15918} på -462.

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{15918} fra 42.

$$x=\frac{42-2\sqrt{15918}}{-462}$$

Del 42-2\sqrt{15918} på -462.

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

Trekk fra 67 fra begge sider av ligningen.

$$-231x^{2}-42x+67-67=-67$$

Når du trekker fra 67 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-231x^{2}-42x=-67$$

Del begge sidene på -231.

$$\frac{-231x^{2}-42x}{-231}=-\frac{67}{-231}$$

Hvis du deler på -231, gjør du om gangingen med -231.

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{-231}\right)x=-\frac{67}{-231}$$

Forkort brøken \frac{-42}{-231} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 21.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=-\frac{67}{-231}$$

Del -67 på -231.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=\frac{67}{231}$$

Del \frac{2}{11}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{11}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{11} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{67}{231}+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{11} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{67}{231}+\frac{1}{121}$$

Legg sammen \frac{67}{231} og \frac{1}{121} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{758}{2541}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{758}{2541}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{758}{2541}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{11}=\frac{\sqrt{15918}}{231} x+\frac{1}{11}=-\frac{\sqrt{15918}}{231}$$

Trekk fra \frac{1}{11} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$