Løs -2z^2+z-105=0

$$- 2 z ^ { 2 } + z - 105 = 0$$

Løs for z

$$z=\frac{-\sqrt{839}i+1}{4}\approx 0,25-7,241374179i$$

$$z=\frac{1+\sqrt{839}i}{4}\approx 0,25+7,241374179i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-2z^{2}+z-105=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -2 for a, 1 for b og -105 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-105\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrer 1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-105\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser -4 ganger -2.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-105\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 8 ganger -105.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-840}}{2\left(-2\right)}$$

Legg sammen 1 og -840.

$$z=\frac{-1±\sqrt{-839}}{2\left(-2\right)}$$

Ta kvadratroten av -839.

$$z=\frac{-1±\sqrt{839}i}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 2 ganger -2.

$$z=\frac{-1±\sqrt{839}i}{-4}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-1±\sqrt{839}i}{-4} når ± er pluss. Legg sammen -1 og i\sqrt{839}.

$$z=\frac{-1+\sqrt{839}i}{-4}$$

Del -1+i\sqrt{839} på -4.

$$z=\frac{-\sqrt{839}i+1}{4}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-1±\sqrt{839}i}{-4} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{839} fra -1.

$$z=\frac{-\sqrt{839}i-1}{-4}$$

Del -1-i\sqrt{839} på -4.

$$z=\frac{1+\sqrt{839}i}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$z=\frac{-\sqrt{839}i+1}{4} z=\frac{1+\sqrt{839}i}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-2z^{2}+z-105=0$$

Legg til 105 på begge sider av ligningen.

$$-2z^{2}+z-105-\left(-105\right)=-\left(-105\right)$$

Når du trekker fra -105 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-2z^{2}+z=-\left(-105\right)$$

Trekk fra -105 fra 0.

$$-2z^{2}+z=105$$

Del begge sidene på -2.

$$\frac{-2z^{2}+z}{-2}=\frac{105}{-2}$$

Hvis du deler på -2, gjør du om gangingen med -2.

$$z^{2}+\frac{1}{-2}z=\frac{105}{-2}$$

Del 1 på -2.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z=\frac{105}{-2}$$

Del 105 på -2.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z=-\frac{105}{2}$$

Del -\frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{105}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}=-\frac{105}{2}+\frac{1}{16}$$

Legg sammen -\frac{105}{2} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}=-\frac{839}{16}$$

Faktoriser z^{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{839}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{839}{16}}$$

Forenkle.

$$z-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{839}i}{4} z-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{839}i}{4}$$

Legg til \frac{1}{4} på begge sider av ligningen.

$$z=\frac{1+\sqrt{839}i}{4} z=\frac{-\sqrt{839}i+1}{4}$$