Løs -2x^2+x+1=0

$$- 2 x ^ { 2 } + x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -2x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=2 b=-1$$

Skriv om -2x^{2}+x+1 som \left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right)$$

Faktorer ut 2x i -2x^{2}+2x.

$$2x\left(-x+1\right)-x+1$$

Faktorer ut det felles leddet -x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+1=0 og 2x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -2 for a, 1 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser -4 ganger -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Legg sammen 1 og 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 2 ganger -2.

$$x=\frac{-1±3}{-4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±3}{-4} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 3.

$$x=\frac{2}{-4}$$

Forkort brøken \frac{2}{-4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±3}{-4} når ± er minus. Trekk fra 3 fra -1.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Del -4 på -4.

$$x=1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{1}{2} x=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$-2x^{2}+x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-2x^{2}+x=-1$$

Del begge sidene på -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Hvis du deler på -2, gjør du om gangingen med -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=-\frac{1}{-2}$$

Del 1 på -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Del -1 på -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Del -\frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Legg til \frac{1}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$