Løs -2x^2+8x-3geq0

$$- 2 x ^ { 2 } + 8 x - 3 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{10}}{2}+2,\frac{\sqrt{10}}{2}+2\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i -2x^{2}+8x-3 positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$2x^{2}-8x+3\leq 0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-8x+3=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, -8 med b, og 3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{8±2\sqrt{10}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\right)\leq 0$$

En av verdiene x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right) må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\geq 0 og x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\leq 0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\geq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\leq 0 og x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\geq 0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[-\frac{\sqrt{10}}{2}+2,\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{10}}{2}+2,\frac{\sqrt{10}}{2}+2\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{10}}{2}+2,\frac{\sqrt{10}}{2}+2\end{bmatrix}$$