Løs -2x^2+2sqrt{10}x-9=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 \sqrt { 10 } x - 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+\sqrt{10}}{2}\approx 1,58113883-1,414213562i$$

$$x=\frac{\sqrt{10}+2\sqrt{2}i}{2}\approx 1,58113883+1,414213562i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-2x^{2}+2\sqrt{10}x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -2 for a, 2\sqrt{10} for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}±\sqrt{\left(2\sqrt{10}\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-9\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrer 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}±\sqrt{40-4\left(-2\right)\left(-9\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser -4 ganger -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}±\sqrt{40+8\left(-9\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 8 ganger -9.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}±\sqrt{40-72}}{2\left(-2\right)}$$

Legg sammen 40 og -72.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}±\sqrt{-32}}{2\left(-2\right)}$$

Ta kvadratroten av -32.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}±4\sqrt{2}i}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 2 ganger -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}±4\sqrt{2}i}{-4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2\sqrt{10}±4\sqrt{2}i}{-4} når ± er pluss. Legg sammen -2\sqrt{10} og 4i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}+4\sqrt{2}i}{-4}$$

Del -2\sqrt{10}+4i\sqrt{2} på -4.

$$x=-\sqrt{2}i+\frac{\sqrt{10}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2\sqrt{10}±4\sqrt{2}i}{-4} når ± er minus. Trekk fra 4i\sqrt{2} fra -2\sqrt{10}.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i-2\sqrt{10}}{-4}$$

Del -2\sqrt{10}-4i\sqrt{2} på -4.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}+\sqrt{2}i$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\sqrt{2}i+\frac{\sqrt{10}}{2} x=\frac{\sqrt{10}}{2}+\sqrt{2}i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2\sqrt{10}x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$-2x^{2}+2\sqrt{10}x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-2x^{2}+2\sqrt{10}x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$-2x^{2}+2\sqrt{10}x=9$$

Del begge sidene på -2.

$$\frac{-2x^{2}+2\sqrt{10}x}{-2}=\frac{9}{-2}$$

Hvis du deler på -2, gjør du om gangingen med -2.

$$x^{2}+\frac{2\sqrt{10}}{-2}x=\frac{9}{-2}$$

Del 2\sqrt{10} på -2.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{10}\right)x=\frac{9}{-2}$$

Del 9 på -2.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{10}\right)x=-\frac{9}{2}$$

Del -\sqrt{10}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{\sqrt{10}}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{\sqrt{10}}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{10}\right)x+\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{\sqrt{10}}{2}.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{10}\right)x+\frac{5}{2}=\frac{-9+5}{2}$$

Legg sammen -\frac{9}{2} og \frac{5}{2} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{10}\right)x+\frac{5}{2}=-2$$

Faktoriser x^{2}+\left(-\sqrt{10}\right)x+\frac{5}{2}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^{2}=-2$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Forenkle.

$$x-\frac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{2}i x-\frac{\sqrt{10}}{2}=-\sqrt{2}i$$

Legg til \frac{\sqrt{10}}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+\frac{\sqrt{10}}{2}$$