Løs -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Løs for x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -2x^{2}+ax+bx+24. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 13.

$$a=16 b=-3$$

Skriv om -2x^{2}+13x+24 som \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+8=0 og 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -2 for a, 13 for b og 24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrer 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser -4 ganger -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 8 ganger 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Legg sammen 169 og 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Ta kvadratroten av 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 2 ganger -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±19}{-4} når ± er pluss. Legg sammen -13 og 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Forkort brøken \frac{6}{-4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±19}{-4} når ± er minus. Trekk fra 19 fra -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Del -32 på -4.

$$x=8$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Trekk fra 24 fra begge sider av ligningen.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Når du trekker fra 24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Del begge sidene på -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Hvis du deler på -2, gjør du om gangingen med -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Del 13 på -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Del -24 på -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Del -\frac{13}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{13}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{13}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{13}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Legg sammen 12 og \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Legg til \frac{13}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$