Løs -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i -2x^{2}+12x-14 positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, -12 med b, og 14 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\left(\sqrt{2}+3\right) og x-\left(3-\sqrt{2}\right) må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\left(\sqrt{2}+3\right) er positiv og x-\left(3-\sqrt{2}\right) er negativ.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\left(3-\sqrt{2}\right) er positiv og x-\left(\sqrt{2}+3\right) er negativ.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$