Løs -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Faktoriser

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Løsningstrinn

Faktoriser ut 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Vurder -4t^{2}+24t-27. Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som -4t^{2}+at+bt-27. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Løsningen er paret som gir Summer 24.

$$a=18 b=6$$

Skriv om -4t^{2}+24t-27 som \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Faktor ut -2t i den første og 3 i den andre gruppen.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2t-9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Skriv om det fullførte faktoriserte uttrykket.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrer 96.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser -4 ganger -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser 64 ganger -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Legg sammen 9216 og -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Ta kvadratroten av 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser 2 ganger -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{-96±48}{-32} når ± er pluss. Legg sammen -96 og 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Forkort brøken \frac{-48}{-32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{-96±48}{-32} når ± er minus. Trekk fra 48 fra -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Forkort brøken \frac{-144}{-32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{3}{2} med x_{1} og \frac{9}{2} med x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra t ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Trekk fra \frac{9}{2} fra t ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Multipliser \frac{-2t+3}{-2} med \frac{-2t+9}{-2} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Multipliser -2 ganger -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Opphev den største felles faktoren 4 i -16 og 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Evaluer

$$-16t^{2}+96t-108$$