Løs -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Løs for t

$$t=1$$

$$t=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 128 fra begge sider.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Trekk fra 128 fra 80 for å få -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Del begge sidene på 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -t^{2}+at+bt-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=3 b=1$$

Skriv om -t^{2}+4t-3 som \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Faktorer ut -t i -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Faktorer ut det felles leddet t-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse t-3=0 og -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Trekk fra 128 fra begge sider av ligningen.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Når du trekker fra 128 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Trekk fra 128 fra 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -16 for a, 64 for b og -48 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrer 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser -4 ganger -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser 64 ganger -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Legg sammen 4096 og -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Ta kvadratroten av 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser 2 ganger -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{-64±32}{-32} når ± er pluss. Legg sammen -64 og 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Del -32 på -32.

$$t=1$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{-64±32}{-32} når ± er minus. Trekk fra 32 fra -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Del -96 på -32.

$$t=3$$

Ligningen er nå løst.

$$t=1 t=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Trekk fra 80 fra begge sider av ligningen.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Når du trekker fra 80 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Trekk fra 80 fra 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Del begge sidene på -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Hvis du deler på -16, gjør du om gangingen med -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Del 64 på -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Del 48 på -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Legg sammen -3 og 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Faktoriser t^{2}-4t+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkle.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$t=3 t=1$$