Løs -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -14x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=8 b=-7$$

Skriv om -14x^{2}+x+4 som \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Faktorer ut 2x i -14x^{2}+8x.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Faktorer ut det felles leddet -7x+4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -7x+4=0 og 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -14 for a, 1 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Multipliser -4 ganger -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Multipliser 56 ganger 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Legg sammen 1 og 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Ta kvadratroten av 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Multipliser 2 ganger -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±15}{-28} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Forkort brøken \frac{14}{-28} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±15}{-28} når ± er minus. Trekk fra 15 fra -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Forkort brøken \frac{-16}{-28} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{4}{7}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Del begge sidene på -14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Hvis du deler på -14, gjør du om gangingen med -14.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Del 1 på -14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Forkort brøken \frac{-4}{-14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Del -\frac{1}{14}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{28}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{28} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{28} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Legg sammen \frac{2}{7} og \frac{1}{784} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Legg til \frac{1}{28} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$