Løs -x^2+45x-200=124

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

Løs for x

$$x=9$$

$$x=36$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 124 fra begge sider.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Trekk fra 124 fra -200 for å få -324.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx-324. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Løsningen er paret som gir Summer 45.

$$a=36 b=9$$

Skriv om -x^{2}+45x-324 som \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

Faktor ut -x i den første og 9 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-36 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-36=0 og -x+9=0.

$$x=36 x=9$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Trekk fra 124 fra begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

Når du trekker fra 124 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Trekk fra 124 fra -200.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 45 for b og -324 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -324.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 2025 og -1296.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 729.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-45±27}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -45 og 27.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Del -18 på -2.

$$x=9$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-45±27}{-2} når ± er minus. Trekk fra 27 fra -45.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

Del -72 på -2.

$$x=36$$

Ligningen er nå løst.

$$x=9 x=36$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Legg til 200 på begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

Når du trekker fra -200 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

Trekk fra -200 fra 124.

$$-x^{2}+45x=324$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

Del 45 på -1.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

Del 324 på -1.

$$x^{2}-45x=-324$$

Del -45, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{45}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{45}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{45}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

Legg sammen -324 og \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

Faktoriser x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

Legg til \frac{45}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=36 x=9$$