Løs -x^2+2x-1=0

$$- { x }^{ 2 } +2x-1=0$$

Løs for x

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=1 b=1$$

Skriv om -x^{2}+2x-1 som \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Faktorer ut -x i -x^{2}+x.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og -x+1=0.

$$x=1 x=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 2 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 4 og -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{2}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Del -2 på -2.

$$x=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+2x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$-x^{2}+2x=1$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Del 2 på -1.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{-1}$$

Del 1 på -1.

$$x^{2}-2x=-1$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Legg sammen -1 og 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x-1=0 x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=1$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=1$$