Løs -x^2+2x+3=0

$$- { x }^{ 2 } +2x+3=0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=3 b=-1$$

Skriv om -x^{2}+2x+3 som \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Faktor ut -x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og -x-1=0.

$$x=3 x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 2 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 4 og 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-2±4}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±4}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 4.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Del 2 på -2.

$$x=-1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±4}{-2} når ± er minus. Trekk fra 4 fra -2.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Del -6 på -2.

$$x=3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-1 x=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+2x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+2x=-3$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{3}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{3}{-1}$$

Del 2 på -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{-1}$$

Del -3 på -1.

$$x^{2}-2x=3$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Legg sammen 3 og 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkle.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-1$$