Løs -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere -\frac{1}{3} med x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} med x-\frac{1}{3} og kombinere like ledd.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt \frac{1}{3} med a, \frac{5}{9} med b, og -\frac{2}{9} med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Løs ligningen x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{1}{3} og x+2 må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{1}{3} er positiv og x+2 er negativ.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x+2 er positiv og x-\frac{1}{3} er negativ.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$