Løs (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x-3 med x+1 og kombinere like ledd.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Du finner den motsatte av x-2 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Kombiner -x og -x for å få -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Legg sammen -3 og 2 for å få -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, -2 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} er positiv og x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} er negativ.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} er positiv og x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} er negativ.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$