Løs (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 3 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 9 og 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -3 og \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Del -3+\sqrt{29} på -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{29} fra -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Del -3-\sqrt{29} på -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Del 3 på -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Del -5 på -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Divider -3, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{3}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 5 og \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktoriser y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$