Løs (x-4)^2*(x+3)^3*(x-1)=0

$$( x - 4 ) ^ { 2 } \cdot ( x + 3 ) ^ { 3 } \cdot ( x - 1 ) = 0$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=4$$

$$x=1$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-4\right)^{2}.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x+3\right)^{3}\left(x-1\right)=0$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} til å utvide \left(x+3\right)^{3}.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x^{3}+9x^{2}+27x+27\right)\left(x-1\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x^{2}-8x+16 med x^{3}+9x^{2}+27x+27 og kombinere like ledd.

$$\left(x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432\right)\left(x-1\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 med x-1 og kombinere like ledd.

$$x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -432 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432 på x-1 for å få x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 432 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-3$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 på x+3 for å få x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 144 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±144,±72,±48,±36,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-3$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144 på x+3 for å få x^{3}-5x^{2}-8x+48. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{3}-5x^{2}-8x+48=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 48 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±48,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-3$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}-5x^{2}-8x+48 på x+3 for å få x^{2}-8x+16. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-8x+16=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -8 med b, og 16 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{8±0}{2}$$

Løsninger er de samme.

$$x=4$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=1 x=-3 x=4$$