Løs (x-3)^3=-64

$$( x - 3 ) ^ { 3 } = - 64$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=5+2\sqrt{3}i\approx 5+3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i+5\approx 5-3,464101615i$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} til å utvide \left(x-3\right)^{3}.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27=-64$$

Legg til 64 på begge sider.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27+64=0$$

Legg sammen -27 og 64 for å få 37.

$$x^{3}-9x^{2}+27x+37=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 37 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±37,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}-9x^{2}+27x+37 på x+1 for å få x^{2}-10x+37. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-10x+37=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -10 med b, og 37 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 1\times 37}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{10±\sqrt{-48}}{2}$$

Løs ligningen x^{2}-10x+37=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-2i\sqrt{3}+5 x=5+2i\sqrt{3}$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-1 x=-2i\sqrt{3}+5 x=5+2i\sqrt{3}$$

Løs for x

$$x=-1$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} til å utvide \left(x-3\right)^{3}.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27=-64$$

Legg til 64 på begge sider.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27+64=0$$

Legg sammen -27 og 64 for å få 37.

$$x^{3}-9x^{2}+27x+37=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 37 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±37,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}-9x^{2}+27x+37 på x+1 for å få x^{2}-10x+37. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-10x+37=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -10 med b, og 37 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 1\times 37}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{10±\sqrt{-48}}{2}$$

Siden kvadratroten av et negativt tall ikke er definert i det reelle feltet, finnes det ingen løsninger.

$$x\in \emptyset$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-1$$