Løs (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Løsningstrinn

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -4 med b, og -3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\left(\sqrt{7}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{7}\right) må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\left(\sqrt{7}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{7}\right) er begge ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Vurder saken når x-\left(\sqrt{7}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{7}\right) er begge ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$