Løs (x-1)^2<3

$$( x - 1 ) ^ { 2 } < 3$$

Løs for x

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$

Løsningstrinn

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-\left(\sqrt{3}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{3}\right)\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\left(\sqrt{3}+1\right) og x-\left(1-\sqrt{3}\right) må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\left(\sqrt{3}+1\right) er positiv og x-\left(1-\sqrt{3}\right) er negativ.

$$x-\left(\sqrt{3}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{3}\right)<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\left(1-\sqrt{3}\right) er positiv og x-\left(\sqrt{3}+1\right) er negativ.

$$x-\left(1-\sqrt{3}\right)>0 x-\left(\sqrt{3}+1\right)<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$