Løs (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Løs for x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombiner x^{2} og 4x^{2} for å få 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombiner -2x og 8x for å få 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Legg sammen 1 og 4 for å få 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Trekk fra 16 fra begge sider.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Trekk fra 16 fra 5 for å få -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 5x^{2}+ax+bx-11. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -55.

$$-1,55 -5,11$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Løsningen er paret som gir Summer 6.

$$a=-5 b=11$$

Skriv om 5x^{2}+6x-11 som \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 11 i den andre gruppen.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombiner x^{2} og 4x^{2} for å få 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombiner -2x og 8x for å få 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Legg sammen 1 og 4 for å få 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Trekk fra 16 fra begge sider.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Trekk fra 16 fra 5 for å få -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 6 for b og -11 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Legg sammen 36 og 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±16}{10} når ± er pluss. Legg sammen -6 og 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Del 10 på 10.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±16}{10} når ± er minus. Trekk fra 16 fra -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Forkort brøken \frac{-22}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombiner x^{2} og 4x^{2} for å få 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombiner -2x og 8x for å få 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Legg sammen 1 og 4 for å få 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Trekk fra 5 fra begge sider.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Trekk fra 5 fra 16 for å få 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Del \frac{6}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Legg sammen \frac{11}{5} og \frac{9}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Trekk fra \frac{3}{5} fra begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$