Løs (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Vurder \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utvid \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Regn ut 3 opphøyd i 2 og få 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for å få 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Trekk fra 64 fra 9 for å få -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Legg sammen -55 og 1 for å få -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for å få 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Trekk fra 9x fra begge sider.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombiner 6x og -9x for å få -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Trekk fra 18 fra begge sider.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Trekk fra 18 fra -54 for å få -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 7x^{2}+ax+bx-72. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=-24 b=21$$

Skriv om 7x^{2}-3x-72 som \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Faktor ut x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 7x-24 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 7x-24=0 og x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Vurder \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utvid \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Regn ut 3 opphøyd i 2 og få 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for å få 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Trekk fra 64 fra 9 for å få -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Legg sammen -55 og 1 for å få -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for å få 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Trekk fra 9x fra begge sider.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombiner 6x og -9x for å få -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Trekk fra 18 fra begge sider.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Trekk fra 18 fra -54 for å få -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, -3 for b og -72 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Legg sammen 9 og 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±45}{14} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Forkort brøken \frac{48}{14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±45}{14} når ± er minus. Trekk fra 45 fra 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Del -42 på 14.

$$x=-3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Vurder \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utvid \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Regn ut 3 opphøyd i 2 og få 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for å få 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Trekk fra 64 fra 9 for å få -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Legg sammen -55 og 1 for å få -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for å få 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Trekk fra 9x fra begge sider.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombiner 6x og -9x for å få -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Legg til 54 på begge sider.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Legg sammen 18 og 54 for å få 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Del -\frac{3}{7}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{14}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{14} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{14} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Legg sammen \frac{72}{7} og \frac{9}{196} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Legg til \frac{3}{14} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$