Løs (x+1)^2-5x(x+1)=0

$$( x + 1 ) ^ { 2 } - 5 x ( x + 1 ) = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5x med x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Kombiner x^{2} og -5x^{2} for å få -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Kombiner 2x og -5x for å få -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -4x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -4.

$$1,-4 2,-2$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=1 b=-4$$

Skriv om -4x^{2}-3x+1 som \left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Faktor ut -x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$-x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-1=0 og -x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5x med x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Kombiner x^{2} og -5x^{2} for å få -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Kombiner 2x og -5x for å få -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -4 for a, -3 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser -4 ganger -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Legg sammen 9 og 16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 2 ganger -4.

$$x=\frac{3±5}{-8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±5}{-8} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 5.

$$x=\frac{8}{-8}$$

Del 8 på -8.

$$x=-1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±5}{-8} når ± er minus. Trekk fra 5 fra 3.

$$x=-\frac{2}{-8}$$

Forkort brøken \frac{-2}{-8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-1 x=\frac{1}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5x med x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Kombiner x^{2} og -5x^{2} for å få -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Kombiner 2x og -5x for å få -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$-4x^{2}-3x=-1$$

Del begge sidene på -4.

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Hvis du deler på -4, gjør du om gangingen med -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{1}{-4}$$

Del -3 på -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

Del -1 på -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

Del \frac{3}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Legg sammen \frac{1}{4} og \frac{9}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Trekk fra \frac{3}{8} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$