Løs (9x^2-16)-(3x-4)(2-5x)<0

$$( 9 x ^ { 2 } - 16 ) - ( 3 x - 4 ) ( 2 - 5 x ) < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x-4 med 2-5x og kombinere like ledd.

$$9x^{2}-16-\left(26x-15x^{2}-8\right)<0$$

Du finner den motsatte av 26x-15x^{2}-8 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$9x^{2}-16-26x+15x^{2}+8<0$$

Kombiner 9x^{2} og 15x^{2} for å få 24x^{2}.

$$24x^{2}-16-26x+8<0$$

Legg sammen -16 og 8 for å få -8.

$$24x^{2}-8-26x<0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}-8-26x=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 24 med a, -26 med b, og -8 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 24\left(-8\right)}}{2\times 24}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{26±38}{48}$$

Løs ligningen x=\frac{26±38}{48} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{1}{4}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$24\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{4}{3} og x+\frac{1}{4} må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{4}{3} er positiv og x+\frac{1}{4} er negativ.

$$x-\frac{4}{3}>0 x+\frac{1}{4}<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x+\frac{1}{4} er positiv og x-\frac{4}{3} er negativ.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{4}{3}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$