Løs (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2 med 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Legg sammen 81 og 162 for å få 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Kombiner -90x og -180x for å få -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Kombiner 25x^{2} og 50x^{2} for å få 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Trekk fra 24 fra 243 for å få 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 75 med a, -270 med b, og 219 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Løs ligningen x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} og x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} er positiv og x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} er negativ.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} er positiv og x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} er negativ.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$