Løs (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Løs for x

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Trekk fra 81 fra begge sider.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Trekk fra 81 fra 16 for å få -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Del begge sidene på 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 5x^{2}+ax+bx-13. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -65.

$$1,-65 5,-13$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Løsningen er paret som gir Summer -8.

$$a=-13 b=5$$

Skriv om 5x^{2}-8x-13 som \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Faktorer ut x i 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Faktorer ut det felles leddet 5x-13 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 5x-13=0 og x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Trekk fra 81 fra begge sider.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Trekk fra 81 fra 16 for å få -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 25 for a, -40 for b og -65 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Kvadrer -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Legg sammen 1600 og 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

Det motsatte av -40 er 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{40±90}{50} når ± er pluss. Legg sammen 40 og 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

Forkort brøken \frac{130}{50} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=\frac{13}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{40±90}{50} når ± er minus. Trekk fra 90 fra 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

Del -50 på 50.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Trekk fra 16 fra begge sider.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Trekk fra 16 fra 81 for å få 65.

$$25x^{2}-40x=65$$

Del begge sidene på 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

Hvis du deler på 25, gjør du om gangingen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

Forkort brøken \frac{-40}{25} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

Forkort brøken \frac{65}{25} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Del -\frac{8}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{4}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{4}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{4}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Legg sammen \frac{13}{5} og \frac{16}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Legg til \frac{4}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$