Løs (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Vurder \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Utvid \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Du finner den motsatte av 4x^{2}-1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombiner 25x^{2} og -4x^{2} for å få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Legg sammen 4 og 1 for å få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Trekk fra 47 fra begge sider.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Trekk fra 47 fra 5 for å få -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Trekk fra x fra begge sider.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombiner -20x og -x for å få -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Del begge sidene på 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-2 b=1$$

Skriv om x^{2}-x-2 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Faktorer ut x i x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Faktorer ut det felles leddet x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-2=0 og x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Vurder \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Utvid \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Du finner den motsatte av 4x^{2}-1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombiner 25x^{2} og -4x^{2} for å få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Legg sammen 4 og 1 for å få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Trekk fra 47 fra begge sider.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Trekk fra 47 fra 5 for å få -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Trekk fra x fra begge sider.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombiner -20x og -x for å få -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 21 for a, -21 for b og -42 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Kvadrer -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multipliser -4 ganger 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multipliser -84 ganger -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Legg sammen 441 og 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Ta kvadratroten av 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Det motsatte av -21 er 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multipliser 2 ganger 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{21±63}{42} når ± er pluss. Legg sammen 21 og 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Del 84 på 42.

$$x=2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{21±63}{42} når ± er minus. Trekk fra 63 fra 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Del -42 på 42.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2 x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Vurder \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Utvid \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Du finner den motsatte av 4x^{2}-1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombiner 25x^{2} og -4x^{2} for å få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Legg sammen 4 og 1 for å få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Trekk fra x fra begge sider.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Kombiner -20x og -x for å få -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Trekk fra 5 fra begge sider.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Trekk fra 5 fra 47 for å få 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Del begge sidene på 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Hvis du deler på 21, gjør du om gangingen med 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Del -21 på 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Del 42 på 21.

$$x^{2}-x=2$$

Del -1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 2 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=2 x=-1$$