Løs (4x-3)^2=64

$$( 4 x - 3 ) ^ { 2 } = 64$$

Løs for x

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Trekk fra 64 fra begge sider.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

Trekk fra 64 fra 9 for å få -55.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 16x^{2}+ax+bx-55. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-24 ab=16\left(-55\right)=-880$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -880.

$$1,-880 2,-440 4,-220 5,-176 8,-110 10,-88 11,-80 16,-55 20,-44 22,-40$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-880=-879 2-440=-438 4-220=-216 5-176=-171 8-110=-102 10-88=-78 11-80=-69 16-55=-39 20-44=-24 22-40=-18$$

Løsningen er paret som gir Summer -24.

$$a=-44 b=20$$

Skriv om 16x^{2}-24x-55 som \left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right).

$$\left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right)$$

Faktor ut 4x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$4x\left(4x-11\right)+5\left(4x-11\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-11 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-11\right)\left(4x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-11=0 og 4x+5=0.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Trekk fra 64 fra begge sider.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

Trekk fra 64 fra 9 for å få -55.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 16 for a, -24 for b og -55 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrer -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Multipliser -4 ganger 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Multipliser -64 ganger -55.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+3520}}{2\times 16}$$

Legg sammen 576 og 3520.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{4096}}{2\times 16}$$

Ta kvadratroten av 4096.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±64}{2\times 16}$$

Det motsatte av -24 er 24.

$$x=\frac{24±64}{2\times 16}$$

Multipliser 2 ganger 16.

$$x=\frac{24±64}{32}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{24±64}{32} når ± er pluss. Legg sammen 24 og 64.

$$x=\frac{88}{32}$$

Forkort brøken \frac{88}{32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=\frac{11}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{24±64}{32} når ± er minus. Trekk fra 64 fra 24.

$$x=-\frac{40}{32}$$

Forkort brøken \frac{-40}{32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Trekk fra 9 fra begge sider.

$$16x^{2}-24x=64-9$$

Trekk fra 9 fra 64 for å få 55.

$$16x^{2}-24x=55$$

Del begge sidene på 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=\frac{55}{16}$$

Hvis du deler på 16, gjør du om gangingen med 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=\frac{55}{16}$$

Forkort brøken \frac{-24}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{55}{16}$$

Del -\frac{3}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{55}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{55+9}{16}$$

Legg sammen \frac{55}{16} og \frac{9}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=4$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=4$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{4}=2 x-\frac{3}{4}=-2$$

Legg til \frac{3}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$