Løs (4t-7)^2+9=25

$$( 4 t - 7 ) ^ { 2 } + 9 = 25$$

Løs for t

$$t = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

$$t=\frac{3}{4}=0,75$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4t-7\right)^{2}.

$$16t^{2}-56t+49+9=25$$

Legg sammen 49 og 9 for å få 58.

$$16t^{2}-56t+58=25$$

Trekk fra 25 fra begge sider.

$$16t^{2}-56t+58-25=0$$

Trekk fra 25 fra 58 for å få 33.

$$16t^{2}-56t+33=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 16t^{2}+at+bt+33. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-56 ab=16\times 33=528$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 528.

$$-1,-528 -2,-264 -3,-176 -4,-132 -6,-88 -8,-66 -11,-48 -12,-44 -16,-33 -22,-24$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-528=-529 -2-264=-266 -3-176=-179 -4-132=-136 -6-88=-94 -8-66=-74 -11-48=-59 -12-44=-56 -16-33=-49 -22-24=-46$$

Løsningen er paret som gir Summer -56.

$$a=-44 b=-12$$

Skriv om 16t^{2}-56t+33 som \left(16t^{2}-44t\right)+\left(-12t+33\right).

$$\left(16t^{2}-44t\right)+\left(-12t+33\right)$$

Faktor ut 4t i den første og -3 i den andre gruppen.

$$4t\left(4t-11\right)-3\left(4t-11\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4t-11 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4t-11\right)\left(4t-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4t-11=0 og 4t-3=0.

$$t=\frac{11}{4} t=\frac{3}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4t-7\right)^{2}.

$$16t^{2}-56t+49+9=25$$

Legg sammen 49 og 9 for å få 58.

$$16t^{2}-56t+58=25$$

Trekk fra 25 fra begge sider.

$$16t^{2}-56t+58-25=0$$

Trekk fra 25 fra 58 for å få 33.

$$16t^{2}-56t+33=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 16 for a, -56 for b og 33 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Kvadrer -56.

$$t=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Multipliser -4 ganger 16.

$$t=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-64\times 33}}{2\times 16}$$

Multipliser -64 ganger 33.

$$t=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-2112}}{2\times 16}$$

Legg sammen 3136 og -2112.

$$t=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{1024}}{2\times 16}$$

Ta kvadratroten av 1024.

$$t=\frac{-\left(-56\right)±32}{2\times 16}$$

Det motsatte av -56 er 56.

$$t=\frac{56±32}{2\times 16}$$

Multipliser 2 ganger 16.

$$t=\frac{56±32}{32}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{56±32}{32} når ± er pluss. Legg sammen 56 og 32.

$$t=\frac{88}{32}$$

Forkort brøken \frac{88}{32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$t=\frac{11}{4}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{56±32}{32} når ± er minus. Trekk fra 32 fra 56.

$$t=\frac{24}{32}$$

Forkort brøken \frac{24}{32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$t=\frac{3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$t=\frac{11}{4} t=\frac{3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4t-7\right)^{2}.

$$16t^{2}-56t+49+9=25$$

Legg sammen 49 og 9 for å få 58.

$$16t^{2}-56t+58=25$$

Trekk fra 58 fra begge sider.

$$16t^{2}-56t=25-58$$

Trekk fra 58 fra 25 for å få -33.

$$16t^{2}-56t=-33$$

Del begge sidene på 16.

$$\frac{16t^{2}-56t}{16}=-\frac{33}{16}$$

Hvis du deler på 16, gjør du om gangingen med 16.

$$t^{2}+\left(-\frac{56}{16}\right)t=-\frac{33}{16}$$

Forkort brøken \frac{-56}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t=-\frac{33}{16}$$

Del -\frac{7}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{-33+49}{16}$$

Legg sammen -\frac{33}{16} og \frac{49}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=1$$

Faktoriser t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}=1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkle.

$$t-\frac{7}{4}=1 t-\frac{7}{4}=-1$$

Legg til \frac{7}{4} på begge sider av ligningen.

$$t=\frac{11}{4} t=\frac{3}{4}$$