Løs (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x-5 med x+2 og kombinere like ledd.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Kombiner 3x^{2} og -x^{2} for å få 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, 1 med b, og -10 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{-1±9}{4} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

En av verdiene x-2 og x+\frac{5}{2} må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Consider the case when x-2\geq 0 and x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Consider the case when x-2\leq 0 and x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$