Løs (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Du finner den motsatte av x^{2}+6x+9 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombiner 9x^{2} og -x^{2} for å få 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombiner -24x og -6x for å få -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Trekk fra 9 fra 16 for å få 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 8x^{2}+ax+bx+7. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Løsningen er paret som gir Summer -30.

$$a=-28 b=-2$$

Skriv om 8x^{2}-30x+7 som \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Faktor ut 4x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-7=0 og 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Du finner den motsatte av x^{2}+6x+9 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombiner 9x^{2} og -x^{2} for å få 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombiner -24x og -6x for å få -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Trekk fra 9 fra 16 for å få 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 8 for a, -30 for b og 7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Kvadrer -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Multipliser -4 ganger 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Multipliser -32 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Legg sammen 900 og -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Ta kvadratroten av 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

Det motsatte av -30 er 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Multipliser 2 ganger 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{30±26}{16} når ± er pluss. Legg sammen 30 og 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Forkort brøken \frac{56}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{30±26}{16} når ± er minus. Trekk fra 26 fra 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Forkort brøken \frac{4}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Du finner den motsatte av x^{2}+6x+9 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombiner 9x^{2} og -x^{2} for å få 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombiner -24x og -6x for å få -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Trekk fra 9 fra 16 for å få 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Trekk fra 7 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Del begge sidene på 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Hvis du deler på 8, gjør du om gangingen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Forkort brøken \frac{-30}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Del -\frac{15}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{15}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{15}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{15}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Legg sammen -\frac{7}{8} og \frac{225}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Legg til \frac{15}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$